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O jogo, portanto, requer a presença de três elementos: consideração (uma quantia apostada), risco (chance) e um prêmio.

[1] O resultado 💋 da aposta geralmente é imediato, como um único lançamento de dados, um giro de uma roleta ou um cavalo cruzando 💋 a linha de chegada, mas prazos mais longos também são comuns, permitindo apostas no resultado de uma futura competição esportiva.

ou 💋 mesmo uma temporada esportiva inteira.

Os jogos de apostas são importante atividade comercial internacional, com o mercado legal de jogos de 💋 azar totalizando cerca de 335 bilhões de dólares em 2009.[2]

Em alguns países, a atividade de jogo a dinheiro é legal.

Em particular, um martingale é uma sequência de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer 📉 tempo específico na sequência observada, a esperança do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado 📉 o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1]

O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.

Ele pode modelar um jogo 📉 de cara ou coroa com a possibilidade de falência.

Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor 📉 esperado do processo em um tempo pode ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.

Entretanto, o conhecimento 📉 de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre 📉 os eventos futuros.